Как решать уравнения с знаком больше

Как пишется знак больше и знак меньше - инструкция на ОчПросто.ком

как решать уравнения с знаком больше

В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух есть неотрицательное число – то есть он должен быть больше нуля или равен 0 наше исходное неравенство остается как есть, только без знака модуля: 1) Есть более простой и короткий способ решения нашего неравенства. Т.е., сначала из неравенства делается уравнение, решается (если из . Там еще надо следить за тем, что знак больше/меньше может. Основные методы решения неравенств. Неравенства, содержащие два знака отношения, называются двойными, . Решается уравнение f(x) = 0. 4.

Но для начала вспомним, как решаются простейшие задачи: Преобразовывать такие логарифмические уравнения мы будем с помощью канонической формы.

Давайте перепишем это выражение следующим образом: В этом случае мы можем, образно говоря, зачеркнуть знаки log, а с точки зрения математики мы можем сказать, что мы просто приравниваем аргументы: Давайте применим это правило к нашим сегодняшним задачам. Прежде всего, отмечу, что справа стоит дробь, в знаменателе которой находится log.

Когда вы видите такое выражение, не лишним будет вспомнить замечательное свойство логарифмов: Переводя на русский язык, это означает, что любой логарифм может быть представлен в виде частного двух логарифмов с любым основанием.

В этом случае мы получим конструкцию вида: Именно такую конструкцию мы наблюдаем от знака справа в нашем уравнении. Давайте заменим эту конструкцию на logab, получим: Другими словами, в сравнении с исходным заданием, мы поменяли местами аргумент и основание логарифма.

Взамен нам пришлось перевернуть дробь. Далее осталось привести логарифмы к общему основанию.

как решать уравнения с знаком больше

В этом случае давайте перепишем все наше логарифмическое уравнение: Вспоминаем, что любую степень можно выносить из основания по следующему правилу: Другими словами, коэффициент k, который является степенью основания, выносится как перевернутая дробь. Давайте вынесем ее как перевернутую дробь: Дробный множитель нельзя оставлять спереди, потому что в этом случае мы не сможем представить данную запись как каноническую форму ведь в канонической форме перед вторым логарифмом никакой дополнительный множитель не стоит.

Теперь мы приравниваем аргументы, основания которых одинаковые а основания у нас действительно одинаковыеи записываем: Мы получили ответ к первому логарифмическому уравнению. Теперь переходим ко второму выражению: Как решать такое уравнение?

Линейные уравнения: Перенос слагаемых через знак равенства

Неподготовленному ученику может показаться, что это какая-то жесть, но на самом деле все решается элементарно. Внимательно посмотрите на слагаемое lg 2 log2 7. Что мы можем о нем сказать? Основания и аргументы log и lg совпадают, и это должно наводить на некоторые мысли. Давайте еще раз вспомним, как выносятся степени из-под знака логарифма: Давайте применим эту формулу для выражения lg 2 log2 7. Пусть вас не пугает lg 2 — это самое обычное выражение.

Можно переписать его следующим образом: В частности, множитель, стоящий спереди, можно внести в степень аргумента. Очень часто ученики в упор не видят это действие, потому что нехорошо вносить один log под знак другого.

На самом деле ничего криминального в этом. Более того, мы получаем формулу, которая легко считается, если помнить важное правило: Эту формулу можно рассматривать и как определение, и как одно из его свойств.

  • Линейные неравенства. Начальный уровень.
  • Логарифмическое уравнение: основные формулы и приемы
  • Тема урока: "Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля"

В любом случае, если вы преобразуете логарифмическое уравнение, эту формулу вы должны знать точно так же, как и представление любого числа в виде log.

Возвращаемся к нашей задаче.

Неравенства.

Переписываем его с учетом того факта, что первое слагаемое справа от знака равенства будет равно просто lg 7. Давайте внесем его в аргумент правого lg: Мы решили второе логарифмическое уравнение.

При этом никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходной задаче х присутствовал лишь в одном аргументе. Перечислю еще раз ключевые моменты этого урока.

как решать уравнения с знаком больше

Главная формула, которая изучается во всех уроках на этой странице, посвященной решению логарифмических уравнений — это каноническая форма. И пусть вас не пугает то, что в большинстве школьных учебников вас учат решать подобные задачи по-другому. Данный инструмент работает очень эффективно и позволяет решать гораздо более широкий класс задач, нежели простейшие, которые мы изучали в самом начале нашего урока. Кроме того, для решения логарифмических уравнений полезно будет знать основные свойства.

Формулу перехода к одному основанию и частный случай, когда мы переворачиваем log это очень пригодилось нам в первой задаче ; Формулу внесения и вынесения степеней из-под знака логарифма. Здесь многие ученики зависают и в упор не видят, что выносимая и вносимая степень сама может содержать log f x. Ничего страшного в этом. Мы можем вносить один log по знак другого и при этом существенно упрощать решение задачи, что мы и наблюдаем во втором случае. В заключении хотел бы добавить, что проверять область определения в каждом из этих случае не требуется, потому что везде переменная х присутствует только в одном знаке log, и при этом находится в его аргументе.

Как следствие, все требования области определения выполняются автоматически. Задачи с переменным основанием Сегодня мы рассмотрим логарифмические уравнения, которые для многих учеников кажутся нестандартными, а то и вовсе нерешаемыми. Речь идет об выражениях, в основании которых стоят не числа, а переменные и даже функции. Решать такие конструкции мы будем с помощью нашего стандартного приема, а именно через каноническую форму.

как решать уравнения с знаком больше

Для начала вспомним, как решаются простейшие задачи, в основании которых стоят обычные числа. При этом полученные при решении корни и будут корнями исходного логарифмического уравнения. Кроме того, запись, когда и слева, и справа стоит по одному и тому же логарифму с одним и тем же основанием, как раз и называется канонической формой. Именно к такой записи мы будем пытаться свести сегодняшние конструкции. Та степень, которую мы наблюдаем у аргумента, это, на самом деле то число b, которое стояло справа от знака равенства.

Таким образом, перепишем наше выражение.

как решать уравнения с знаком больше

Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, поэтому мы смело можем приравнять аргументы. Ведь полученная конструкция состоит из функций, которые определены на всей числовой прямой, а наши исходные логарифмы определены не везде и не.

Поэтому мы должны отдельно записать область определения. Давайте не будем мудрить и для начала запишем все требования: Во-первых, аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0: Но вы не пугайтесь: Поэтому мы можем смело зачеркнуть неравенство, содержащее квадратичную функцию. Таким образом, количество выражений, которое содержится в нашей системе, уменьшится до трех. Разумеется, с тем же успехом мы могли бы зачеркнуть и линейное неравенство.

Но согласитесь, что решить простейшее линейное неравенство гораздо быстрее и проще, чем квадратичное, пусть даже при условии, что в результате решения всей этой системы мы получим одни и те же корни. В общем, по возможности старайтесь оптимизировать вычисления. И в случае с логарифмическими уравнениями вычеркивайте самые сложные неравенства.

Давайте перепишем нашу систему: Вот такая система из трех выражений, с двумя из которых мы, по сути, уже разобрались. Давайте отдельно выпишем квадратное уравнение и решим его: Если функция Find возвращает вектор значений, можно ввести выражение variable: После такого определения переменная становится вектором вместо скаляра.

Решение линейных неравенств

Можно также определить переменные, как показано на Рисунке 6. Для этого необходимо закончить блок решения уравнений выражением типа f a, b, c, Эта конструкция удобна при многократном решении системы уравнений для различных значений некоторых параметров a, b, с.

Можно отобразить результат, полученный в блоке решения уравнений, непосредственно либо присвоить его переменной для дальнейшего использования.

При решении системы уравнений с двумя или большим числом неизвестных функция Find возвращает вектор, имеющий число компонент, равное числу неизвестных.

Тема урока: "Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля"

Различные начальные приближения приводят к различным решениям. Получено решение, отличное от решения, приведенного на Рисунке 8. Добавление ограничений позволяет найти другое решение. Mathcad возвращает в блоке решения уравнений только одно решение.

Однако система уравнений может иметь несколько различных решений. Если одно из решений найдено, то для поиска других решений можно использовать различные начальные приближения либо дополнительные ограничения в виде неравенств, которым найденное решение не удовлетворяет.

На Рисунке 9 показано, как иное начальное приближение может приводить к другому решению задачи, приведенной на Рисунке 8. На Рисунке 10 показано, как добавить ограничения в виде неравенства для поиска другого решения. Если при поиске решения встречаются трудности, то полезно вывести те или иные графики, связанные с системой.

Анализ графика может облегчить поиск области, в которой может находиться искомое решение. Это поможет выбрать подходящее начальное приближение. На Рисунке 11 приведена задача, для которой Mathcad не смог найти решение. Пример задачи, решение которой не может быть найдено в блоке решения уравнений. Достигнута точка, из которой не может быть получено более точное приближение к решению.

Достигнута точка, из которой невозможно выбрать подходящее направление спуска — направление вдоль которого ищется следующее приближение. В связи с этим продолжать итерации невозможно. Достигнут предел точности вычислений. Дальнейшие вычисления не увеличивают точность найденного решения вследствие влияния ошибок округления.

Это часто случается, если установлено значение встроенной переменной TOL меньшее, чем Причиной появления этого сообщения об ошибке может быть следующее: Поставленная задача может не иметь решения. Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число.

Если решение задачи комплексное, то оно не будет найдено, если только в качестве начального приближения не взято также комплексное число. На Рисунке 11 приведен соответствующий пример. В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки.

Метод поиска решения, который используется в Mathcad, не позволяет в этом случае построить следующее приближение, которое бы уменьшало невязку. Для поиска искомого решения пробуйте использовать различные начальные приближения или добавьте ограничения на переменные в виде неравенств, чтобы обойти точку локального минимума.

В процессе поиска решения получена точка, которая не является точкой локального минимума, но из которой метод минимизации не может определить дальнейшее направление движения. Метод преодоления этой проблемы — такой же, как для точки локального минимума: